import numpy as np
from scipy import stats
from scipy.stats import norm, t, cumfreq
import matplotlib.pyplot as plt作品三：探討雙樣本 T 檢定的 T 值、P 值分佈與檢定力
作品目標：
本作品探討通過雙樣本 T 檢定（Two Sample T-Test）所估計出的 T 值分佈是否與傳統 T 分配（T Distribution）的分佈情況相同。此外，也分別探討在給定兩組樣本數相同，且來自同一母體或不同母體的情況下，P 值分佈的情況，樣本數對其所造成的影響，以及雙樣本 T 檢定的檢定力。
套件宣告：
第 1 步：模擬檢視雙樣本 T 檢定下所生成 T 值與理論 T 分配之分佈差異
本步驟透過模擬方式重複進行雙樣本 T 檢定，並觀察所生成的 T 統計量之分佈情形，進而與理論上的 T 分配進行比較。藉由直方圖與累積分佈圖（ECDF），評估實際模擬所產生之 T 值是否能良好逼近傳統 T 分配，並觀察樣本數對分佈貼近程度的影響。
雙樣本 T 檢定（Two Sample T-Test）: \[ H_0: \mu_1 = \mu_2 \] \[ H_a: \mu_1 \neq \mu_2 \]
檢定統計量 T 值: \[ t = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}}\]
理論分佈（變異數相等）: \[X \sim T(N_1+N_2-2)\]
1.1 雙樣本 T 檢定下 T 統計量分佈的模擬與比較
分別生成 100 筆和 200 筆來自 \(N(0, 1)\) 的樣本，進行雙樣本 T 檢定，生成 T 值，重複抽樣 1000 次，用生成的 1000 筆 T 值畫出其直方圖和 ECDF 圖，並另外畫出 T 分佈的 PDF 和 CDF，觀察由雙樣本 T 檢定生成的 T 值與真實 T 分配的分佈情況的關聯性。
# 生成樣本數
N1 = 100
N2 = 200
# 抽樣次數
M = 1000
# 參數設定
mu = 0
sigma = 1
T_Val = np.zeros([M, 1])
x1 = norm.rvs(loc = mu, scale = sigma, size = (N1, M))
x2 = norm.rvs(loc = mu, scale = sigma, size = (N2, M))
# 進行 t 檢定
results = stats.ttest_ind(x1, x2)
T_Val = results.statistic
# 計算 ECDF
res = cumfreq(T_Val, numbins = M) # 生成 100 個區間的 ECDF
ecdf_x = res.lowerlimit + np.linspace(0, res.binsize * res.cumcount.size, res.cumcount.size)
cumcountprob = res.cumcount / M # 累積次數除以總樣本數量 = 累積機率
# T 分佈的 PDF
N_t = 1000
x_pdf = np.linspace(-4, 4, N_t)
y_pdf = t.pdf(x_pdf, N1 + N2 - 2)
# T 分佈的 CDF
x_cdf = np.linspace(ecdf_x.min(), ecdf_x.max(), N_t)
y_cdf = t.cdf(x_cdf, N1 + N2 - 2)
# 繪圖
plt.style.use('ggplot')
fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))
# PDF
ax[0].hist(T_Val, bins = 40, density = True, color = '#99BBFF', edgecolor = '#FFFFFF', label = 'T-Test Value')
ax[0].plot(x_pdf, y_pdf, color = '#FF7744', lw = 3, linestyle = '--', label = 'Theoretical PDF', alpha = 0.8)
ax[0].set_title('T-Test Value Distribution with sizes {}'.format(M), fontsize = 12)
ax[0].set_xlabel('T-Test Value', fontsize = 12, color = 'black')
ax[0].set_ylabel('Density', fontsize = 12, color = 'black')
legend0 = ax[0].legend(edgecolor = '#666666')
legend0.get_frame().set_linestyle('-.')
legend0.get_frame().set_alpha(0.4)
ax[0].grid(True, linestyle = '-.')
# ECDF
ax[1].plot(ecdf_x, cumcountprob, drawstyle = 'steps-pre', label = 'Empirical CDF', color = '#666666', lw = 3)
ax[1].plot(x_cdf, y_cdf, color = '#FF7744', label = 'Theoretical CDF', alpha = 0.8, lw = 3, linestyle = '--')
ax[1].set_title('The Empirical CDF with {} steps'.format(M), fontsize = 12)
ax[1].set_xlabel('Value', fontsize = 12, color = 'black')
ax[1].set_ylabel('Cumulative Probability', fontsize = 12, color = 'black')
legend1 = ax[1].legend(edgecolor = '#666666', prop = {'size': 11})
legend1.get_frame().set_linestyle('-.')
legend1.get_frame().set_alpha(0.4)
ax[1].grid(True, linestyle = '-.')
plt.show()
注意事項與討論：
實驗結果顯示進行 1000 次抽樣所生成的 T 值，其分佈情況確實有往中間集中的趨勢，但並沒有與 T 分配的 PDF 對應起來，ECDF 的情況也一樣，T 值的累積分佈沒有完全與真實的 CDF 分佈相吻合，還無法確定由雙樣本 T 檢定所生成的 T 值會服從 T 分配。
雖然上述結果不足夠證明雙樣本 T 檢定所生成的 T 值會服從 T 分配，但以上實驗的抽樣次數也只有 1000 次，有可能是實驗的抽樣次數還不夠多，因此再分別進行不同抽樣次數的實驗，觀察其所生成的 T 值分佈情況。
1.2 不同模擬次數下雙樣本 T 統計量分佈之比較
與前一實驗相同，分別生成 100 筆和 200 筆來自 \(N(0, 1)\) 的樣本，進行雙樣本 T 檢定，生成 T 值，並分別重複抽樣 100、1000、10000、100000 次，用生成的 M 筆 T 值畫出其直方圖和 ECDF 圖，並另外畫出 T 分佈的 PDF 和 CDF，觀察由雙樣本 T 檢定生成的 T 值與真實 T 分配的分佈情況與抽樣次數的關係。
# 生成樣本數
N1 = 100
N2 = 200
# 抽樣次數
M_values = [100, 1000, 10000, 100000]
# 參數設定
mu = 0
sigma = 1
# 繪圖
plt.style.use('ggplot')
fig, axs = plt.subplots(4, 2, figsize = (12, 20))
for j, M in enumerate(M_values):
T_Val = np.zeros([M, 1])
x1 = norm.rvs(loc = mu, scale = sigma, size = (N1, M))
x2 = norm.rvs(loc = mu, scale = sigma, size = (N2, M))
# 進行 t 檢定
results = stats.ttest_ind(x1, x2)
T_Val = results[0]
# 計算 ECDF
res = cumfreq(T_Val, numbins = M) # 生成 100 個區間的 ECDF
ecdf_x = res.lowerlimit + np.linspace(0, res.binsize * res.cumcount.size, res.cumcount.size)
cumcountprob = res.cumcount / M # 累積次數除以總樣本數量 = 累積機率
# T 分佈的 PDF
N_t = 1000
x_pdf = np.linspace(-4, 4, N_t)
y_pdf = t.pdf(x_pdf, N1 + N2 - 2)
# T 分佈的 CDF
x_cdf = np.linspace(ecdf_x.min(), ecdf_x.max(), N_t)
y_cdf = t.cdf(x_cdf, N1 + N2 - 2)
# 繪製 PDF 和 ECDF
ax_pdf = axs[j, 0]
ax_cdf = axs[j, 1]
# PDF
ax_pdf.hist(T_Val, bins = 60, density = True, color = '#99BBFF', edgecolor = '#FFFFFF'
, label = 'T-Test Value')
ax_pdf.plot(x_pdf, y_pdf, color = '#FF7744', lw = 3, linestyle = '--', label = 'Theoretical PDF'
, alpha = 0.8)
ax_pdf.set_title('T-Test Value Distribution with sizes {}'.format(M), fontsize = 12)
ax_pdf.set_xlabel('T-Test Value', fontsize = 12, color = 'black')
ax_pdf.set_ylabel('Density', fontsize = 12, color = 'black')
legend0 = ax_pdf.legend(edgecolor = '#666666', prop = {'size': 11})
legend0.get_frame().set_linestyle('-.')
legend0.get_frame().set_alpha(0.4)
ax_pdf.grid(True, linestyle = '-.')
# ECDF
ax_cdf.plot(ecdf_x, cumcountprob, drawstyle = 'steps-pre', label = 'Empirical CDF'
, color = '#666666', lw = 3)
ax_cdf.plot(x_cdf, y_cdf, color = '#FF7744', label = 'Theoretical CDF', alpha = 0.8, lw = 3
, linestyle = '--')
ax_cdf.set_title('The Empirical CDF with {} steps'.format(M), fontsize = 12)
ax_cdf.set_xlabel('Value', fontsize = 12, color = 'black')
ax_cdf.set_ylabel('Cumulative Probability', fontsize = 12, color = 'black')
legend1 = ax_cdf.legend(edgecolor = '#666666', prop = {'size': 11})
legend1.get_frame().set_linestyle('-.')
legend1.get_frame().set_alpha(0.4)
ax_cdf.grid(True, linestyle = '-.')
plt.tight_layout()
plt.show()
注意事項與討論：
實驗結果顯示分別重複抽樣 100、1000、10000、100000 次，並進行雙樣本 T 檢定所生成的 T 值，其分佈情況確實隨著抽樣次數越多，越接近真實 T 分配的分佈模樣，尤其在重複抽樣 10000 次時就已經無限接近真實的 T 分配的分佈情況，證實了由雙樣本 T 檢定所生成的 T 值確實服從 T 分配。
上述實驗結果證實了雙樣本 T 檢定所生成的 T 值在抽樣次數多時確實會服從 T 分配，大致抽樣 10000 筆 T 值就可觀察到此現象。
第 2 步：雙樣本 T 檢定中 P 值分佈與樣本母體來源的關聯性分析
本步驟探討在雙樣本 T 檢定下，當兩組樣本數量相同，但其母體分配是否一致（即來自相同或不同常態分配）時，所估計出的 P 值在多次重複抽樣下所呈現的分佈型態。此步驟藉由模擬不同樣本大小、抽樣次數，以及不同母體參數（均值差異）組合下的 P 值直方圖，進一步分析在虛無假設成立與不成立時，P 值分佈是否分別趨近於均勻分佈與偏態分佈，並初步揭示檢定力與樣本結構之間的關係。
2.1 同母體樣本下不同樣本數對 P 值分佈的影響
分別生成兩組樣本數為 10、30 及 100 的資料，且皆來自相同的常態分配 \(N(0, 1)\)，在每種樣本數情況下進行雙樣本 T 檢定，並重複抽樣 100000 次以產生 P 值，再根據所獲得的 100000 筆 P 值繪製直方圖，觀察在虛無假設成立下，不同樣本數對 P 值分佈型態的影響。此實驗亦用以驗證當虛無假設成立時，P 值是否呈現理論上應有的均勻分佈。
# 樣本數
N_values = [10, 30, 100]
# 抽樣次數
M = 100000
# 設定常態分佈的參數
mu = 0
sigma = 1
def P_Val_Dist(N):
P_Val = np.zeros([M, 1])
x1 = norm.rvs(loc = mu, scale = sigma, size = (N, M))
x2 = norm.rvs(loc = mu, scale = sigma, size = (N, M))
# 進行 t 檢定
results = stats.ttest_ind(x1, x2)
P_Val = results[1]
return P_Val
plt.style.use('ggplot')
fig, ax = plt.subplots(1, 3, figsize = (15, 5))
for i in range(3):
ax[i].hist(P_Val_Dist(N_values[i]), bins = 100, density = True, color = '#9F88FF', edgecolor = '#FFFFFF')
ax[i].set_title('N = {}'.format(N_values[i]), fontsize = 15)
ax[i].grid(True, linestyle = '-.')
ax[i].grid(True, linestyle = '-.')
ax[i].set_xlabel('P Value of T-Test', fontsize = 15, color = 'black')
ax[i].set_ylabel('Density', fontsize = 15, color = 'black')
plt.tight_layout()
plt.show()
注意事項與討論：
實驗結果顯示兩組來自同一母體，且樣本數相同的資料重複抽樣 100000 次，進行雙樣本 T 檢定所生成的 P 值分佈情況，可見無論是樣本數 N = 10、30、100，它們的 P 值分佈並沒有明顯的不同，而且它們的分佈都大致呈現出了均勻分佈的模樣。
當兩組樣本來自同一母體，且樣本數相同時，重複進行 100000 次，進行雙樣本 T 檢定所生成的 P 值分佈會無限接近均勻分佈，且無論是樣本數 N = 10、30、100，其分佈長相都沒有太大差別，但上述實驗並未探討到關於抽樣次數 M 與 P 值分佈的關係，是否是因為抽樣次數太多，才會導致分佈長相接近均勻分佈，以及分佈長相並不因為樣本數的不同而有差異。因此接下來的實驗將針對這部分進行。
2.2 探討不同抽樣次數下雙樣本 T 檢定 P 值分佈的穩定性與趨勢變化
延續前一實驗的設定，分別生成兩組樣本數為 10、30 和 100 的資料，且皆來自相同的常態分配 \(N(0, 1)\)，對每一樣本數設定進行雙樣本 T 檢定，並分別重複抽樣 1000 次、10000 次與 100000 次以產生 P 值。接著，根據各情境下所獲得的 P 值資料繪製直方圖，觀察抽樣次數對 P 值分佈穩定性與均勻程度的影響。
# 樣本數
N_values = [10, 100, 500]
# 抽樣次數
M_values = [1000, 10000, 100000]
# 設定常態分佈的參數
mu = 0
sigma = 1
def P_Val_Dist(N, M):
P_Val = np.zeros([M, 1])
x1 = norm.rvs(loc = mu, scale = sigma, size = (N, M))
x2 = norm.rvs(loc = mu, scale = sigma, size = (N, M))
# 進行 t 檢定
results = stats.ttest_ind(x1, x2)
P_Val = results[1]
return P_Val
plt.style.use('ggplot')
fig, ax = plt.subplots(3, 3, figsize = (15, 15))
for j, M in enumerate(M_values):
for i, N in enumerate(N_values):
ax[j, i].hist(P_Val_Dist(N, M), bins = 100, density = True, color = '#9F88FF', edgecolor = '#FFFFFF')
ax[j, i].set_title('M = {}, N = {}'.format(M, N), fontsize = 15)
ax[j, i].grid(True, linestyle = '-.')
ax[j, i].set_xlabel('P Value of T-Test', fontsize = 15, color = 'black')
ax[j, i].set_ylabel('Density', fontsize = 15, color = 'black')
plt.tight_layout()
plt.show()
注意事項與討論：
前面實驗分別提出了兩個問題，分別為是否由於抽樣次數太多使得分佈近似於均勻分佈，以及樣本數是否也會影響分佈模樣。實驗結果顯示當抽樣次數相同時，樣本數的不同並不影響分佈長相，但是可明顯看見隨著抽樣次數的增加，P 值分佈會越接近均勻分佈的模樣，尤其當抽樣次數為 100000 次時，P 值分佈已十分接近均勻分佈。
當兩組樣本來自同一母體，且樣本數相同時，不論樣本數的多寡，重複抽樣所生成 P 值的次數越多，其分佈模樣會越接近均勻分佈。
2.3 探討不同母體差異下 P 值分佈的偏態與樣本數對檢定力的影響
針對樣本數分別為 10、30 與 100 的情境，生成兩組資料，其中一組來自常態分配 \(N(0, 1)\)，另一組則分別來自 \(N(0.5, 1)\)、\(N(1, 1)\) 以及 \(N(2, 1)\)，以模擬不同母體平均數差異的情況。對每一組設定進行雙樣本 T 檢定，並重複抽樣 100000 次以生成 P 值，接著繪製這些 P 值的直方圖，觀察其分佈形態如何隨母體差異與樣本數的變化而改變。
# 樣本數
N_values = [10, 30, 100]
# 抽樣次數
M = 100000
# 設定常態分佈的參數
mu1 = 0
mu2_values = [0.5, 1, 2]
sigma = 1
def P_Val_Dist(N, mu2):
P_Val = np.zeros([M, 1])
x1 = norm.rvs(loc = mu1, scale = sigma, size = (N, M))
x2 = norm.rvs(loc = mu2, scale = sigma, size = (N, M))
# 進行 t 檢定
results = stats.ttest_ind(x1, x2)
P_Val = results[1]
return P_Val
plt.style.use('ggplot')
fig, ax = plt.subplots(3, 3, figsize = (15, 15))
for j, N in enumerate(N_values):
for i, mu2 in enumerate(mu2_values):
ax[j, i].hist(P_Val_Dist(N, mu2), bins = 80, density = True, color = '#FF8888', edgecolor = '#FFFFFF')
ax[j, i].set_title('N = {}, $\mu_1$ = 0 vs $\mu_2$ = {}'.format(N, mu2), fontsize = 15)
ax[j, i].set_xlabel('P Value of T-Test', color = 'black', fontsize = 15)
ax[j, i].set_ylabel('Density', color = 'black', fontsize = 15)
ax[j, i].grid(True, linestyle = '-.')
plt.tight_layout()
plt.show()
注意事項與討論：
實驗結果顯示兩組來自不同母體分配，但樣本數相同的資料重複抽樣 100000 次，進行雙樣本 T 檢定所生成的 P 值分佈情況，可見當資料來自不同的母體分配時，P 值分佈會呈現右偏的趨勢，且隨著 \(\mu_2\) 的值增加，其趨勢會右偏得越嚴重，大部分的 P 值都落在 0 附近。此外，本次實驗也發現樣本數不同於先前實驗的表現，隨著樣本數越大，P 值分佈右偏的趨勢會越嚴重，表示樣本數的大小會影響檢定力。
當兩組樣本來自不同的母體分配，但樣本數相同時，進行雙樣本 T 檢定所生成的 P 值分佈會呈現右偏的模樣，且同時隨著樣本數和抽樣次數的增加而顯得更加右偏。原因在於雙樣本 T 檢定的預設 Type I Error 是 \(\alpha = 0.05\)，依此定義出了拒絕域（Reject Region），因此當資料不來自常態時，其資料分佈與常態分佈的重疊程度不高，可能只有尾部有重疊，故佔據的分佈面積只有 0.05 左右，即位於拒絕域附近，就會呈現出實驗結果的模樣，大部分 P 值集中在分佈左尾，且隨著樣本數越大或是母體差異太大，其檢定力就會越強。後續實驗將更詳細地去探討雙樣本 T 檢定的檢定力（Power）。
第 3 步：樣本來源與樣本數對雙樣本 T 檢定檢定力的影響分析
本步驟旨在探討當兩組樣本來自相同母體（虛無假設成立）或不同母體（虛無假設不成立）時，雙樣本 T 檢定的檢定力（Power）表現。透過改變樣本數與母體間的均值差距，觀察重複抽樣下 P 值的表現，進而估計拒絕虛無假設的機率，評估檢定力是否足夠，以及 Type I error 是否控制得當。
雙樣本 T 檢定（Two Sample T-Test）: \[ H_0: \mu_1 = \mu_2 \] \[ H_a: \mu_1 \neq \mu_2 \]
Power: \[\text{Power} = P(\text{Reject } H_0 \mid H_a \text{ true}) = 0.95\]
Type I Error: \[\alpha = P(\text{Reject } H_0 \mid H_0 \text{ true}) = 0.05\]
3.1 探討不同母體樣本在固定樣本數下之檢定力表現
生成兩組樣本數皆為 100 的資料，其中一組來自 \(N(0, 1)\)，另一組來自 \(N(0.5, 1)\)，在此條件下進行雙樣本 T 檢定並重複抽樣 1000 次，獲得 1000 筆 P 值。接著以 \(\alpha = 0.05\) 作為顯著水準，計算其中 P 值小於 0.05 的比例，進而估計此檢定的檢定力（Power），以評估雙樣本 T 檢定在此母體差異與樣本數條件下的判別能力。
# 樣本數
N = 100
# 抽樣次數
M = 1000
# 參數設定
mu1 = 0
mu2 = 0.5
sigma = 1
P_Val = np.zeros([M, 1])
alpha = 0.05
# 生成樣本
x1 = norm.rvs(loc = mu1, scale = sigma, size = (N, M))
x2 = norm.rvs(loc = mu2, scale = sigma, size = (N, M))
# 進行 t 檢定
results = stats.ttest_ind(x1, x2, equal_var = True)
P_Val = results[1]
# power
power = np.mean(P_Val < alpha)
print('Power = {}'.format(power))Power = 0.923注意事項與討論：
實驗結果顯示在給定兩組樣本數同樣為 100 筆，但來自不同母體分配的情況下，雙樣本 T 檢定的 Power 落在 0.95 附近，結合前一個實驗的第七張子圖，表示有將近 95% 的 P 值 < 0.05。
已知兩組樣本來自不同的母體分配，故理論上在給定 \(\alpha = 0.05\) 下，實驗的檢定結果要拒絕 \(H_0\)，且拒絕的機率（Power）要達到 95%，而從實驗結果得知，當樣本數為 100 筆時，Power 確實落在 0.95 附近，表示此檢定統計量的檢定力很強，但還需要確認樣本數對於檢定力的影響，故接下來將針對此部分進行實驗。
3.2 樣本數對雙樣本 T 檢定檢定力的影響分析
針對樣本數對雙樣本 T 檢定檢定力（Power）的影響，分別生成樣本數為 10、20、30、50、100、300、500 的資料，並區分為兩種情況進行比較：一為兩組樣本皆來自相同母體 \(N(0, 1)\)，另一為兩組樣本分別來自 \(N(0, 1)\) 與 \(N(0.5, 1)\)。在每組情況下皆進行 1000 次重複抽樣與雙樣本 T 檢定，並計算其中 P 值小於 0.05 的比例作為檢定力估計值。最終比較不同樣本數下，檢定力在兩種母體條件下的變化趨勢，評估樣本規模對檢定靈敏度的影響程度。
# 樣本數
N_values = [10, 20, 30, 50, 100, 300, 500]
# 抽樣次數
M = 1000
# 參數設定
mu1 = 0
mu2_values = [0, 0.5]
sigma = 1
alpha = 0.05
# 繪圖
plt.style.use('ggplot')
fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize = (10, 8))
colors = ['#99BBFF', '#9F88FF', '#0044BB', '#4400CC']
for i, (mu2, col) in enumerate(zip(mu2_values, colors)):
power = np.zeros(len(N_values))
for j, N in enumerate(N_values):
x1 = norm.rvs(loc = mu1, scale = sigma, size = (N, M))
x2 = norm.rvs(loc = mu2, scale = sigma, size = (N, M))
# 進行 t 檢定
results = stats.ttest_ind(x1, x2)
P_Val = results[1]
power[j] = np.mean(P_Val < alpha)
# 繪製 Power 圖
ax[i].plot(power, marker = 's', linestyle = '-', color = col, lw = 2.5)
ax[i].set_xticks(np.arange(len(N_values)))
ax[i].set_xticklabels(N_values)
ax[i].grid(True, linestyle = '-.')
ax[i].set_xlabel('Sample Size', color = 'black', fontsize = 15)
ax[i].set_ylabel('Power', color = 'black', fontsize = 15)
ax[i].set_title('Power for Two Samples N({}, {}) vs. N({}, {})'
.format(mu1, sigma, mu2, sigma), color = 'black', fontsize = 15)
ax[i].tick_params(axis = 'both', colors = colors[i + 2], labelsize = 12)
if mu1 == mu2:
ax[i].set_ylim([0, 0.1])
else:
ax[i].set_ylim([0, 1.1])
for k in range(len(N_values)):
ax[i].text(k, power[k], '{:.3f}'.format(power[k]),
fontsize = 12, color = colors[i + 2], ha = 'center', va = 'bottom')
plt.tight_layout()
plt.show()
注意事項與討論：
實驗結果顯示當樣本來自同一母體時，無論樣本數多寡，其 Power 都落於 0.05 附近，表示有 5% 的 P 值 < 0.05，這與先前的實驗結果吻合，來自同一母體的樣本經過雙樣本 T 檢定，其 P 值分佈會是均勻分佈，故會有 5% 的 P 值會被錯誤拒絕（p < 0.05），證實雙樣本 T 檢定的 Type I error 為 0.05，可見它對於 Type I Error 控制得不錯。 此外，當樣本來自不同母體時，隨著樣本數增加，其 Power 會越來越強，直到樣本數為 100 筆以上時，其 Power 會是 1，表示樣本數的增加確實會提高雙樣本 T 檢定的 Power，且在母體分佈差距不大的情況下，當樣本數提高到 300 以後，依然可準確拒絕 \(H_0\)，表示其檢定力很強。
實驗結果證實雙樣本 T 檢定在大樣本的情況下，Power 會很強，可以準確拒絕 \(H_0\)，且 Type I Error 可準確控制在 0.05 左右，表示雙樣本 T 檢定是一個很好的檢定統計量.